Tổ hợp xác suất – Lý thuyết và một số dạng bài tập

Bạn đang xem: Tổ hợp xác suất – Lý thuyết và một số dạng bài tập tại vothisaucamau.edu.vn

Tổ hợp xác suất là một phần kiến thức vô cùng quan trọng, nằm trong chương trình toán lớp 11, thường xuyên xuất hiện trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc gia. Việc hiểu rõ, hiểu sâu những kiến thức này và vận dụng nhuần nhuyễn sẽ tạo động lực và sự tự tin, giúp các em đạt điểm trọn vẹn trong bài thi môn toán.

Trong bài viết dưới đây, Kien Guru sẽ giới thiệu đến các bạn giải toán 11 tổ hợp xác suất, lý thuyết và một số bài tập cơ bản, các bạn cùng theo dõi nhé!

Các công thức tổ hợp xác suất cần nhớ

Ở phần kiến thức này các bạn cần nắm chắc các công thức tính xác suất, hiểu rõ cách sử dụng và vận dụng thì các bạn sẽ hoàn thành bài tập một cách dễ dàng. Nào chúng ta cùng đi vào tìm hiểu về công thức tổ hợp xác suất nhé!

Công thức tính hoán vị

Cho tập hợp gồm n phần tử (n>0). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.

Ta có công thức hoán vị của n phần tử đã cho là:

Công thức tính độ thẳng hàng

Chỉnh hợp chập k của n phần tử là tập hợp con của tập hợp S chứa n phần tử. Tập con này gồm k phần tử phân biệt của S được sắp thứ tự.

Ta có số chỉnh hợp chập k của tập hợp n phần tử có 1 kn là:

Công Thức Tổ Hợp

Lặp lại kết hợp

Cho tập hợp A = {; ;…; } và số tự nhiên k bất kỳ. Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp chập k của n phần tử là:

kết hợp không lặp lại

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm (1 kn) phần tử của A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

Quy ước:

Thiên nhiên:

Công thức xác suất

Xác suất của một biến cố được tính theo công thức:

Trong đó:

+) n(A) là phần tử của tập hợp A, là số kết quả có thể xảy ra của phép thử T thuận lợi cho biến Q.

+) là số phần tử của không gian mẫu, là số kết quả có thể xảy ra của T . Bài kiểm tra

Bên cạnh đó, khi giải các bài toán về xác suất học sinh cần nắm và vận dụng một số tính chất của xác suất như sau:

+) 0 Tr 1

+) A và B độc lập

Ví dụ và phương pháp giải 11 tổ hợp xác suất

Sau khi đã nắm vững công thức tính xác suất tổ hợp, hãy cùng giải một số ví dụ sau để hiểu rõ hơn về phần kiến thức này.

Ví dụ 1: Một nhóm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Nên thành lập một phái đoàn gồm 5 người. Hỏi:

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách?
Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 nam và 2 nữ?

Giải pháp:

Mỗi cách lập là một chỉnh hợp chập 5 của 10 phần tử, ta có số cách lập là:

(đường)

Số cách chọn 3 bạn trong 6 bạn là:

Số cách chọn 2 bạn nữ trong 4 bạn nữ là:

Số cách chọn 5 bạn gồm 3 nam và 2 nữ là:

. = 20,6 = 120 (cách)

Ví dụ 2: Một hộp chứa 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để bi lấy ra có đủ 3 màu.

Giải pháp:

Tổng số viên bi trong hộp là 23 viên.

Đây được gọi là không gian mẫu.

Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp ta có cách lấy là =10626

Gọi A là biến cố lấy được viên bi có đủ 3 màu. Ta có các trường hợp sau:

+) 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng, 1 viên bi xanh: (cách)

+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng, 1 bi xanh: (cách)

+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng, 2 bi xanh: (cách)

n(A) = 5040

Khi đó xác suất của biến cố A là:

Một số bài tập về tổ hợp xác suất SGK

Dưới đây mời các bạn theo dõi lời giải của một số bài tập trong SGK kiến thức toán 11 tổ hợp xác suất với Ant.

Bài 4 (trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11): Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:

Các chữ số có thể giống nhau
chữ số khác nhau

Giải pháp:

a) Giả sử một số có bốn chữ số và các chữ số có thể có là

Vì là số chẵn nên d{0; 2; 4; 6} d có 4 cách chọn

một {1; 2; 3; 4; 5; 6} a có 6 cách chọn

b và c có 7 cách chọn.

Theo quy tắc nhân ta có: Số các số chẵn thỏa mãn bài toán là: 6.7.7.4 = 1176 số

b) Gọi số có 4 chữ số khác nhau là

Nếu d = 0 thì số có các chữ số khác nhau thì có cách chọn

Nếu d{2; 4; 6} d có 3 cách chọn

Vì a khác 0 và a khác không nên có 5 cách chọn

Vì b khác a và b khác a nên db có 5 cách chọn

Vì c khác a,b,dc nên có 4 cách chọn

Như vậy số số chẵn thỏa mãn bài toán là: 3.5.5.4 = 300 số

Hiệu có 120 + 300 = 420 số chẵn có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Bài 5 (trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11): Xếp ngẫu nhiên ba nam và ba nữ ngồi vào sáu chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:

Nam nữ ngồi xen kẽ
Ba chàng trai ngồi cạnh nhau

Giải pháp:

Số cách sắp xếp 6 bạn thành một hàng tùy ý là một hoán vị của 6 phần tử nên số phần tử của không gian mẫu là:

(đường)

a) Gọi A là biến cố “nam nữ ngồi xen kẽ”

+) TH1: Xếp các bạn nam vào vị trí lẻ thì có 3! cách sắp xếp và xếp các bạn nữ vào vị trí chẵn thì có 3! Cách sắp xếp Có 3!.3! Cách sắp xếp bạn nam và bạn nữ xen kẽ.

+) TH2: Xếp các bạn nam vào vị trí chẵn thì có 3! cách sắp xếp, xếp các cô vào vị trí lẻ thì có 3! Cách sắp xếp Có 3!.3! Cách sắp xếp bạn nam và bạn nữ xen kẽ.

Vậy n(A) = = 72

Xác suất để nam và nữ ngồi xen kẽ là

b) Gọi B là biến cố “Có ba bạn ngồi cạnh nhau”

Có 3 chàng trai ngồi cạnh nhau! Cách sắp xếp là hoán vị của 3 bạn nam

Xét ba nam là một phần tử thì có 4! làm thế nào để sắp xếp với ba cô gái

Theo quy tắc nhân ta được 3!.4! = 144

Vì thế

Bài 6 (trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11): Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen, người ta lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 bi, tính xác suất sao cho:

Bốn quả mọng được vẽ cùng màu
Có ít nhất một quả màu trắng

Giải pháp:

Nếu lấy ngẫu nhiên 4 kết quả trong 10 kết quả thì số phần tử của không gian mẫu là:

a) Ta có cách chọn 4 bi cùng màu trắng

cách chọn 4 quả có màu đen giống nhau

Gọi A là biến cố lấy ra 4 bi cùng màu

Vì thế

b) Gọi B là biến cố “lấy được 4 bi và có ít nhất một bi trắng”.

là biến cố “lấy được 4 bi không có bi trắng”

Chúng ta có:

Vì thế

Bài 9 (trang 77 SGK Đại số và Giải tích 11): Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

Cả hai con xúc xắc xuất hiện chẵn
Tích của các chấm trên hai con súc sắc là số lẻ

Giải pháp:

Ta có không gian mẫu {(i ; j)l 1 i; j 6}

= 6,6 = 36

a) Gọi A là biến cố “Hai con súc sắc xuất hiện chẵn”.

A = {(i ; j)li; j{2; 4; 6}} n(A) = 3.3 = 9

Vậy P(A) = = 25%

b) Gọi B là biến cố “Tích các chấm trên hai con súc sắc là số lẻ”

Ta có B = {(1;1); (1; 3); (1;5); (3; 3); (3; 5); (5; 5); (31); (5; 1); (5; 3)}

n(B) = 9

Vậy P(B) = = 25%

Trên đây Trường THCS Võ Thị Sáu đã giới thiệu đến các bạn kiến thức về Xác suất – Lý thuyết Tổ hợp và một số dạng bài tập, hi vọng các bạn sẽ nắm chắc kiến thức và làm tốt các bài thi.

Hãy theo dõi những bài học tiếp theo để nhận thêm nhiều tài liệu và kiến thức bổ ích.

Bạn thấy bài viết Tổ hợp xác suất – Lý thuyết và một số dạng bài tập có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Tổ hợp xác suất – Lý thuyết và một số dạng bài tập bên dưới để Trường THCS Võ Thị Sáu có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: vothisaucamau.edu.vn của Trường THCS Võ Thị Sáu

Nhớ để nguồn bài viết này: Tổ hợp xác suất – Lý thuyết và một số dạng bài tập của website vothisaucamau.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục