Hằng đẳng thức đáng nhớ có thể quen thuộc với bạn. Hôm nay Trường THCS Võ Thị Sáu sẽ trình bày chi tiết 7 hằng đẳng thức quan trọng: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và cuối cùng là hiệu hai lập phương. Cũng tham khảo bạn nhé.
Mục lục
Hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2.
Ví dụ:
a) Tính ( a + 3 )2.
b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( a + 3 )2= a2+ 2.a.3 + 32 = a2 + 6a + 9.
b) Ta có x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.
2. Bình phương của một hiệu
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )2 = A2 – 2AB + B2.
3. Hiệu hai bình phương
4. Lập phương của một tổng
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
Lập phương của một hiệu.
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.
Ví dụ :
a) Tính ( 2x – 1 )3.
b) Viết biểu thức x3– 3x2y + 3xy2– y3 dưới dạng lập phương của một hiệu.
Hướng dẫn:
a) Ta có: ( 2x – 1 )3
= ( 2x )3 – 3.( 2x )2.1 + 3( 2x ).12 – 13
= 8x3 – 12x2 + 6x – 1
b) Ta có : x3– 3x2y + 3xy2– y3
= ( x )3 – 3.x2.y + 3.x. y2 – y3
= ( x – y )3
Tổng hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ).
Chú ý: Ta quy ước A2 – AB + B2 là bình phương thiếu của hiệu A – B.
Ví dụ:
a) Tính 33+ 43.
b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x2– x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.
Hướng dẫn:
a) Ta có: 33+ 43= ( 3 + 4 )( 32 – 3.4 + 42 ) = 7.13 = 91.
b) Ta có: ( x + 1 )( x2– x + 1 ) = x3+ 13 = x3 + 1.
Hiệu hai lập phương
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ).
Chú ý: Ta quy ước A2 + AB + B2 là bình phương thiếu của tổng A + B.
Ví dụ:
a) Tính 63– 43.
b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu hai lập phương
Hướng dẫn:
a) Ta có: 63– 43= ( 6 – 4 )( 62 + 6.4 + 42 ) = 2.76 = 152.
b) Ta có : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = ( x )3 – ( 2y )3 = x3 – 8y3.
B. Bài tập tự luyện về hằng đẳng thức
Bài 1.Tìm x biết
a) ( x – 3 )( x2+ 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
b) ( x + 1 )3– ( x – 1 )3– 6( x – 1 )2 = – 10.
Hướng dẫn:
a) Áp dụng các hằng đẳng thức ( a – b )( a2+ ab + b2) = a3 – b3.
( a – b )( a + b ) = a2 – b2.
Khi đó ta có ( x – 3 )( x2 + 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
⇔ x3 – 33 + x( 22 – x2 ) = 0 ⇔ x3 – 27 + x( 4 – x2 ) = 0
⇔ x3 – x3 + 4x – 27 = 0
⇔ 4x – 27 = 0
Vậy x= 
.
b) Áp dụng hằng đẳng thức ( a – b )3= a3– 3a2b + 3ab2 – b3
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
Khi đó ta có: ( x + 1 )3 – ( x – 1 )3 – 6( x – 1 )2 = – 10.
⇔ ( x3 + 3x2 + 3x + 1 ) – ( x3 – 3x2 + 3x – 1 ) – 6( x2 – 2x + 1 ) = – 10
⇔ 6x2 + 2 – 6x2 + 12x – 6 = – 10
⇔ 12x = – 6
Vậy x= 
Bài 2: Rút gọn biểu thức A = (x + 2y ).(x – 2y) – (x – 2y)2
- 2x2+ 4xy B. – 8y2+ 4xy
- – 8y2 D. – 6y2+ 2xy
Hướng dẫn
Ta có: A = (x + 2y ). (x – 2y) – (x – 2y)2
A = x2 – (2y)2 – [x2 – 2.x.2y +(2y)2 ]
A = x2 – 4y2 – x2 + 4xy – 4y22
A = -8y2 + 4xy
- Hãy nhớ nó nhé
Những hằng đẳng thức đáng nhớ trên đây rất quan trọng đối với tủ kiến thức của chúng ta. Vì vậy, hãy học nó và ghi nhớ nó. Các phương trình này giúp chúng ta giải các bài toán dễ và khó một cách dễ dàng, các bạn nên làm đi làm lại để vận dụng tốt hơn. Chúc các bạn thành công và chăm chỉ học tập. Hẹn gặp lại các bạn trong bài viết tiếp theo
