Bài viết công thức đạo hàm cung cấp cho các bạn những kiến thức cần nắm vững và các công thức liên quan đến đạo hàm, giúp các bạn học sinh tham khảo và vận dụng tốt trong quá trình học tập môn Toán.
Hãy cùng Trường THCS Võ Thị Sáu tìm hiểu nhé!
Mục lục
1. Đạo hàm là gì?
1.1 Định nghĩa đạo hàm
Giới hạn, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối số tiến dần tới số 0 thì đó được xem là đạo hàm của hàm y = f(x) tại x0.
Đạo hàm của hàm số y=f(x) được ký hiệu bằng y′(x0) hoặc f′(x0):
- Số gia của đối số là Δx=x−x0
- Số gia của hàm số là Δy=y−y0
2 – Những quy tắc cơ bản:
Quy tắc đạo hàm hàm hợp:
2. Công thức:
2.1. Công thức đạo hàm
2.2. Đạo hàm hàm sơ cấp
Một số phân thức hữu tỉ thường gặp và đạo hàm của nó:
2.3. Đạo hàm cấp cao
2.4. Đạo hàm hàm lượng giác
3. Bảng công thức đạo hàm
4. Các dạng bài toán liên quan đến công thức đạo hàm
Dạng 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm
Đây là một trong những dạng toán đạo hàm cơ bản nhất trong giải tích. Các bạn chỉ cần dựa vào định nghĩa để có thể áp dụng và tính toán làm bài một cách chính xác. Cụ thể:
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan đạo hàm
Dạng toán đạo hàm bài này sẽ chú trọng vào việc chứng minh một hệ thức dựa trên một điều kiện có sẵn. Đòi hỏi các bạn sẽ phải chứng minh và tính toán chính xác nhất để cho ra được kết quả cuối cùng.
Dạng 3: Biết tiếp điểm, viết phương trình tiếp tuyến
Đây là một trong những dạng giải bài tập khá phổ biến. Cụ thể là sẽ có một phương trình tiếp tuyến của hàm số trên đồ thị của đường cong (C): y= f(x) tại tiếp điểm M( x0 ; y0) và có dạng: y = y’(x0)(x-x0) + y0.
Ví dụ: Cho một hàm số y= x3 + 3mx2 + ( m+1)x + 1 (1), m là một tham số thực. Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A( 1;2).
TXD: D = R
y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1
Với x0 = -1 => y0= 2m -1, f'( -1) = -5m + 4
Phương trình tiếp tuyến tại M( -1; 2m – 1) : y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)
Ta có A ( 1;2) ∈ (d) <=> ( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2 => m = 5/8
Dạng 4: Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc
Hãy viết phương trình tiếp tuyến Δ của ( C ) : y = f( x ), biết Δ có hệ số góc là k cho trước
Gọi M( x0 ; y0) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x0)
Phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = ( x0 ) = k (i)
- x0 => y0 = f(x0) => Δ : y = k (x – x0 )+ y0
Lưu ý: Hệ số góc k = y'( x0 ) của tiếp tuyến Δ thường cho kiểu gián tiếp như sau:
Ví dụ: Cho hàm số y=x3+3×2-9x+5 ( C). Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( C ).
Ta có y’ = f'( x ) = 3×2 + 6x – 9
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'( x0) = 3 x02 + 6 x0 – 9
Ta có 3 x02 + 6×0– 9 =3 ( x02+ 2×0 +1) – 12 = 3 (x0+1)2– 12 > – 12
Vậy min f( x0)= – 12 tại x0= -1 => y0=16
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= -12( x+1)+16 <=> y= -12x + 4
Dạng 5: Bất phương trình và phương trình có đạo hàm
Dạng toán này sẽ kết hợp với nhiều công thức để có thể giải phương trình hoặc một bất phương trình được đưa ra để tính toán ra được kết quả cuối cùng.
Dạng 6: Dùng công thức tính đạo hàm
Ở đây các bạn cần phải thuộc được những công thức tính đạo hàm cơ bản để có thể giải quyết được những bài tập một cách chính xác. Nếu rơi vào trường hợp, thấy những hàm số phức tạp thì bạn có thể rút gọn trước hàm số đó rồi mới tiến hành tính đạo hàm, nhất là thuộc hàm lượng giác nhé.
Dạng 7: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước thuộc đồ thị/có hệ số góc cho trước của đồ thị hàm số
Các bạn học sinh cần phải nắm vững được hai dạng viết phương trình tiếp tuyến cơ bản như sau đây:
Dạng 8: Tính đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao các dạng bài tập thường thiên về tính đạo hàm cấp 2 trở lên, khi đó các bạn có thể áp dụng công thức y(n) = (y(n-1))’.
Còn đối với trường hợp để tính đạo hàm cấp n, các bạn học sinh sẽ phải tính đạo hàm từ cấp 1, 2, 3,…. rồi từ đó mới tìm ra được công thức tính đạo hàm cấp n. Thường có thể áp dụng vào phương pháp quy nạp toán học để có thể chứng minh được công thức đó là đúng.
Kết luận
Trên đây là toàn bộ kiến thức về công thức đạo hàm. Các bạn học sinh có thể tham khảo để có được kiến thức vững chắc nhất, đồng thời phát triển môn học theo mong muốn của bản thân và đạt được kết quả như ý.
Chúc các bạn học sinh hoàn thành tốt môn học này.
